KNT Geométrico muestra Áreas

Medida. Obtención de fórmulas

Empezamos el tema de medida, y lo primero que hacemos es deducir las fórmulas de las áreas elementales que a todos nos suenan, puesto que te las aprenderías de memoria en su día.

Seguimos un orden, partiendo del área más intuitiva, que es la del rectángulo, para basándonos en ella y con criterios de congruencia de triángulos deducir sucesivamente las áreas de los paralelogramos, triángulos y trapecios. Finalmente vemos el área del círculo y el perímetro de la circunferencia que nos las creemos tal cual.

Los criterios de congruencia de triángulos se tratarán en profundidad más adelante. Aquí nos basamos en ellos para deducir la igualdad de áreas. No te preocupes si ahora mismo te suena un poco a chino.

Te va a parecer que estás perdiendo el tiempo, porque ya tienes la fórmula, peor te aseguro que no. Estamos forjando una nueva manera de pensar, que es la que quieren tus profes que desarrolles. Y en cualquier caso es la que te permitirá sobrevivir a la geometría!!

El área del rectángulo quizás tiene la fórmula más intuitiva: base por altura. Desde ya la cambiamos a lado por lado, pues las palabras base y altura remiten a la idea de horizontal y vertical, y un rectángulo no tiene porqué estar «acostado».

[GEO-538] Área del rectángulo. (03:40)

Basándonos en la fórmula del área del rectángulo, en las propiedades de los paralelogramos que ya conocemos y por criterios de congruencia de triángulos deducimos la fórmula del área para el paralelogramo más general, que es el romboide. Vemos que la fórmula «lado por altura correspondiente al lado» es general para todos los paralelogramos, incluida la del rectángulo, de la que hemos partido

[GEO-539] Área del paralelogramo. (12:31)

Una vez deducida la fórmula del área de un paralelogramo como lado por altura correspondiente al lado, vemos que aldividir un paralelogramo por una diagonal tenemos dos triángulos congruentes, y por tanto de igual área, lo que nos lleva a la conclusión que el área de un triángulo es la mitad de la del paralelogramo «padre», y por tanto llegamos a área del triángulo igual a un medio del lado por la altura correspondiente al lado. Como verás huimos como de la peste -bueno, ahora del Covid!- de la peligrosa noción de «base por altura partido entre dos».

[GEO-540] Área del triángulo (07:30)

Una vez que hemos deducido la fórmula del área del triángulo pasamos al área del trapecio, que al fin y al cabo, como todo cuadrilátero lo podemos considerar compuesto de dos triángulos.

[GEO-541] Área del trapecio (04:55)

En este ejercicio justificamos la fórmula del área de un polígono regular, partiendo de las propiedades conocidas de este que nos permite dividirlo en triángulos congruentes.

[GEO-544] 3. (09:02)
Justifica la fórmula del área de un polígono regular: Área= perímetro x apotema / 2

En este problema deducimos la fórmula del área de un rombo de dos manera distintas. Como siempre hemos dicho, no hay una forma única ni una forma que sea la mejor para deducir o demostrar algo en Geometría. Toma papel y lápiz y prueba; solo tienes que basarte en las cosas que conoces y que se han demostrado o deducido previamente. Muy a propósito ponemos el rombo fuera de su posición prototípica.

[GEO-545] 4. (14:32)
¿Por qué se dice que, el área de un rombo también se puede calcular mediante la fórmula (?×?)/2 siendo D la diagonal mayor y d la diagonal menor?